Orthogonalité - Orthonormalité Soient un ev, un produit scalaire sur et la norme euclidienne associée à 1. Endomorphismes orthogonaux. L'identité ci-dessus est valide dans les espaces préhilbertiens (en particulier les espaces de Hilbert), où la norme est définie à partir du produit scalaire par ‖ ‖ = , . Identité du parallélogramme. La notion de l’identité du parallélogramme: c’est une règle mathématique propre au parallélogramme. Exercice 2. Toute famille orthonormale est libre. On dit que est orthogonal à (ou et sont orthogonaux), et on note , si et seulement si : Exemple : Soit . 6. Existence d’une base orthonormale dans un espace euclidien, algorithme d’or- Agrégation interne - univ-rennes1.fr IDENTITÉ DU PARALLÉLOGRAMME . Espaces préhilbertiens, euclidiens et hermitiens, théorème de Pythagore, inégalité de Cauchy-Schwarz et de Minkowski, norme euclidienne, identité du parallélogramme comme caractérisation des normes issues d'un produit scalaire, familles orthogonales et orthonormées, bases orthonormées. Une norme provenant d’un produit scalaire est appelée norme euclidienne. La translation de vecteur nul est l’identité. On en déduit que k k∞ n’est pas une norme euclidienne. et donc k k∞ ne vérifie pas l’identité du parallélogramme. Voici des propriétés d’une translation. Espaces euclidiens 17 Endomorphismes d’un espace euclidien - Mickaël Prost La norme euclidienne associée au produit scalaire est l'application de dans définie par : . Il y a égalité si et seulement si et sont colinéaires. Une norme n'est pas toujours donnée par un produit scalaire, elle l'est si et seulement si on a l'identité du parallélogramme. Montrer que si N est une norme euclidienne alors elle vérifie l’identité du parallélogramme, c’est-à-dire pour tous vecteurs x et y de E, on a ()( )()()Nx y Nx y Nx Ny() ( ) 2 ()++ − = +22 22 . Dans toute la suite du cours, E sera supposé euclidien. Définition : Soit .